فيثاغورس هو اسم العالم الذي اخترع النظرية وينسب اسمها إليه. وكان من أكثر المؤهلين علمياً، حيث اهتم في شبابه بالهندسة وعلم الكونيات، مما ساعده على التفوق في الرياضيات، وقام فيما بعد بتطوير نظرية فيثاغورس الشهيرة.
عناصر البحث
- مقدمة للبحث.
- نص قانون فيثاغورس.
- إثبات نظرية فيثاغورس.
- تطبيقات نظرية فيثاغورس.
- خاتمة البحث.
قم بتنزيل مقال عن نظرية فيثاغورس بصيغة PDF
مقدمة للبحث في نظرية فيثاغورس
كان فيثاغورس عالمًا يونانيًا متخصصًا في الرياضيات حتى قبل المسيح. قام بتطوير نظرية فيثاغورس التي تعتبر من أقدم النظريات الرياضية المعروفة منذ القدم وسهلت تنفيذ العديد من المهام في مختلف المجالات.
نص قانون نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي ضلعي الزاوية القائمة (الضلعان الأقصر في المثلث) يساوي مربع طول الوتر (الضلع الأطول في المثلث). أما النظرية في الرموز: نظرية فيثاغورس = A² + B² = C².
حيث (أ، ب) هما ضلعا المثلث القائم، و (ج) هو وتر المثلث القائم، مع العلم أن عكس النظرية صحيح أيضًا؛ لأن كل مثلث تنطبق عليه النظرية هو مثلث قائم الزاوية.
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن استخدام عدد كبير جدًا من البراهين لإثبات نظرية فيثاغورس، والتي نشرها عالم الرياضيات إليشا سكوت لوميس في كتابه “فرضية فيثاغورس” الصادر عام 1927م، والذي قدم فيه أكثر من 370 برهانًا مختلفًا لها المقدمة، والتي تم تقسيمها إلى أربعة أقسام.
- قسم الهندسة (المساحات).
- قسم الجبر (أضلاع المثلث).
- قسم الديناميكيات/الحركية (خصائص القوة والكتلة).
- قسم المتجهات.
أصبح البرهان الهندسي لنظرية فيثاغورس شائعًا بين عدد كبير من الأشخاص على مر السنين ويتم تنفيذه وفقًا للخطوات التالية:
- نفترض أن هناك مربعًا به نقاط (د، ه، و، ي) على جوانبه الأربعة، بحيث تقسم كل نقطة ضلعه إلى قسمين.
- نحسب طول الضلع الأول (أ) وطول الضلع الثاني (ب)، ثم نربط النقاط ببعضها بخطوط مستقيمة لتكوين مربع داخلي طول ضلعه (ج)، بالإضافة إلى أربعة أضلاع قائمة. تلك المثلثات الداخلية، التي يكون وترها هو الضلع (C) وطول الضلعين الآخرين (A، B).
- وهذا يعني أن طول ضلع المربع الخارجي هو (أ + ب)، وبالتالي فإن مساحة المربع الخارجي تساوي (أ + ب)²، وهي مساحة المثلثات الأربعة.
- مساحة المثلثات الأربعة = 4 * (1/2 طول القاعدة * الارتفاع) = 2/4 * أ * ب = 2 أب، بينما مساحة المربع الداخلي = ج²
- نجد مساحة المربع الخارجي وهي: (a+b)²= 2ab+c²، ثم نقوم بتفكيك المربع لتبسيط الصورة حتى تصبح a²+2ab+b²= 2ab+c².
- رتب طرفي المعادلة حتى تحصل على الصورة: a²+b²=2ab+c²-2ab.
- اختصر الحدود بحيث تكون المعادلة: A² + B² = C²، مما يثبت النظرية حيث أن (C) هو الوتر، مما يؤدي إلى أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين.
تطبيقات نظرية فيثاغورس
1- حساب أضلاع المثلثات
فيثاغورس هي النظرية التي تشرح أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي الطريقة المستخدمة غالبًا لحل المسائل الرياضية ذات الصلة حتى يومنا هذا.
2- تحديد زوايا المربع
التحقق من الشكل المربع، سواء كان ذلك في المسائل الرياضية أو شكل المباني على الأرض، هي مهمة تحلها نظرية فيثاغورس المطبقة على مثلث أطوال أضلاعه 3 و 4 و 5 سنتيمترات.
وبما أننا نتحدث عن أبعاد مثلث قائم الزاوية، أي أن إحدى زواياه 90 درجة، مما يساعد البناءين عندما يريدون بناء زاوية بين جدارين، فإنهم يشكلون مثلثاً من ثلاثة حبال طولها يساوي السابق أطوال .
الزاوية المقابلة هي وتر المثلث، أي الزاوية القائمة التي يمكنك من خلالها استخدام الخطوط الصحيحة للتحقق من الموضع الصحيح للجدران أو الأساس.
3- فيثاغورس قيد الإنشاء
يستخدم البناءون أحيانًا نظرية فيثاغورس لحساب طول القطر بين خطين مستقيمين، خاصة في مشاريع البناء أو الأعمال الخشبية مثل هياكل السقف المائلة.
4- المسافة بين نقطتين
تُستخدم نظرية فيثاغورس أيضًا لحساب مسافة الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين على المستوى x-ja، وهي الإحداثيات الافتراضية لأي نقطتين (x، y).
5- فيثاغورس في الملاحة
وتستخدم النظرية لحساب أقصر مسافة يمكن أن تقع بين نقطتين في نظام ثنائي الأبعاد، وهي مفيدة على سبيل المثال لشخص على متن سفينة في البحر يريد الوصول إلى نقطة تبعد 300 ميل من جهة الشمال و 400 ميل من الجانب الغربي.
وباستخدام قانون فيثاغورس يمكنه إيجاد المسافة بينه وبين هذه النقطة وكذلك حساب درجات الزاوية التي يجب معرفتها للوصول إلى هذه النقطة.
وللقيام بذلك، من المفترض أن المسافات إلى الغرب والشمال هي جوانب المثلث وأن أقصر مسافة يمكن الوصول إليها هي قطر المثلث. ثم يتم إدخال الرموز والأرقام ويتم حل المعادلة.
وهناك من يطبق هذا القانون أيضًا في الملاحة الجوية، مستفيدًا من ارتفاع الطائرة عن الأرض والمسافة بينها وبين وجهتها في المطار.
6- فيثاغورس في النقل
يعد العثور على أطول جانب من المثلث القائم أمرًا مهمًا للغاية عند هبوط الطائرات لأنه يحسب الدرجة التي ستهبط بها الطائرة.
وفي مجال النقل البري تساعد النظرية على حساب قيمة الحبل وتحديد عدد الحبال اللازمة لنقل البضائع المنقولة بالشاحنات من نقطة إلى أخرى مما يضمن حماية الأرواح وحماية من يتم نقل البضائع مضمونة ضد الانهيار. خاصة إذا كانت ضخمة.
7- فيثاغورس في مسح الأراضي
مسح الأراضي هي المهمة التي يستخدمها رسامي الخرائط لحساب المسافات والارتفاعات الرقمية بين النقاط المختلفة قبل رسم الخريطة، وبما أن التضاريس غالباً ما تكون غير مستوية؛ يلجأ الرسامون إلى أساليب تسمح لقياسات المسافة باتباع نظام معين.
8- فيثاغورس في علم الفلك
يساهم فيثاغورس في معرفة المسافات بين الكواكب والنجوم، وهو أمر له أهمية كبيرة في علم الفلك، لكن القانون لا يستخدم بشكل مباشر، بل يتم استخدام نسخة معدلة منه، وهي: c^2 = a^2 + b^2 – 2*أ*ب*كوس ج
يعتمد استخدام هذه المعادلة على حقيقة أن الزوايا في الفضاء ليست كلها زوايا قائمة؛ بسبب المدارات غير الدائرية، من الصعب تحديد أو حساب المسافة الأولية.
إذا كانت الزاوية صحيحة، يتم استخدام القانون الأصلي، وهو: C^2 = A^2 + B^2؛ لأن قيمة جتا الزاوية القائمة هي صفر، وهو ما يتوافق مع الجزء الأخير من المعادلة الذي يأتي بصفر بعد إشارة السالب.
اختتام دراسة حول نظرية فيثاغورس
كانت للأرقام أهمية وأهمية كبيرة عند علماء الماضي مقارنة بعلماء اليوم. وبما أن العالم فيثاغورس كان يعتقد أن كل ما في الكون من حوله يتكون من أرقام، فقد اعتبرت نظرية فيثاغورس أشهر نظرية في العالم منذ آلاف السنين.
ظهرت نظرية فيثاغورس في البداية بشكل معقد للغاية حتى ظهر العالم فيثاغورس واستطاع إثبات صحتها بطريقة مبسطة، مما سهل تطبيقها في مجالات كثيرة، ومنذ ذلك الحين نسبت إليه.