حساب الانحراف المعياري
الانحراف المعياري هو النسبة بين كمية البيانات والتباين وعادة ما يرمز له رياضيا بالرمز (σ). طريقة الحساب تكون عن طريق حساب الجذر التربيعي للتباين ما مدى أهمية حساب الانحراف المعياري، فهناك العديد من الجوانب الرياضية العملية التي تشير إلى أهميته، والتي نتعرف عليها بالتفصيل. كما سنتعرف في هذا المقال على العديد من الأمثلة المهمة التي تتناول الانحراف المعياري وطريقة وخطوات حسابه.
أهمية الانحراف المعياري في الحياة العملية
الانحراف المعياري: ويكمن معناه في قياس تشتت البيانات وحجم الفرق بينها وكذلك تحديد تشتت البيانات وبعدها عن بعضها البعض وكذلك من الوسط الحسابي والانحراف المعياري لمجموعة بيانات .
أما بالنسبة للوسط الحسابي فيتم تحديده من خلال تحديد مركز ومركز هذه البيانات وما هو ارتفاع المنحنى الطبيعي وكلما اقترب الانحراف المعياري من القيمة (O) وبالتالي إلى القيمة الموجودة تأتي إلى القيمة الحسابية المتوسط الأقرب، ويمكن أيضًا نشر القيمة من الانحراف المعياري عبر بُعد القيمة حول الوسط الحسابي.
يعد الانحراف المعياري من أهم المقاييس التي يتم حسابها في العديد من التجارب العلمية وفي العديد من الأنشطة الصناعية، وهو مهم لضمان دقة التجارب المختلفة. كلما كانت قيمة الانحراف المعياري أصغر، كلما كانت البيانات في هذه التجارب أقرب إلى القيمة المتوقعة.
وعلى العكس من ذلك، إذا وجدنا أن قيمة الانحراف المعياري كبيرة فإن البيانات بعيدة عن القيمة المتوقعة وبالتالي يتم تمثيلها بالوسط الحسابي.
على سبيل المثال يتم استخدام قيمة الانحراف المعياري في مراقبة الجودة في المصانع المختلفة عن طريق حساب الانحراف المعياري للمنتجات في المصانع وكذلك لمختلف الخدمات والمنتجات والتأكد من سير العمليات بشكل صحيح من خلال وضع حدود مقبولة القيم المتعلقة بمراقبة جودة المنتجات من خلال حساب انحرافها المعياري.
وليس فقط في الأنشطة الصناعية أو حساب جودة المنتج، ولكن أيضًا في حالات التنبؤ حيث يتم استخدام الانحراف المعياري لحساب درجات الحرارة الأقرب إلى منطقة جغرافية معينة وبالتالي تباين درجات الحرارة على مقربة بين منطقتين ويستخدم الانحراف المعياري إلى حد كبير ل الحساب وبالتالي يعرف ملف درجة الحرارة الدقيق في مناطق مختلفة.
ما هي الخطوات الأساسية لحساب الانحراف المعياري؟
هناك حاجة إلى عدة خطوات لحساب الانحراف المعياري. هذه الخطوات هي:
استخدم الصيغة التالية لحساب الانحراف المعياري: [مجموع (س-μ)²/ن]√
أما بالنسبة لاستخدام الرموز الرياضية، فإن n = عدد القيم، بينما x = إجمالي القيم في الدراسة و μ هو الوسط الحسابي للقيم.
هناك العديد من الخطوات لتطبيق قانون الانحراف المعياري. فلنتعرف على الخطوات في المثال أدناه:
كيف نجد حساب الانحراف المعياري للقيم التالية:
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
ويتم تحديد الوسط الحسابي أولا بالمعادلة التالية: الوسط الحسابي = مجموع القيم / العدد
وبالتالي حساب الوسط الحسابي =
9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4 / 20 = 140/20 = 7.
الخطوة التالية هي طرح الوسط الحسابي لكل من القيم السابقة، وبالتالي تربيع القيمة الناتجة بالنقاط التالية:
- (9 – 7)² = (2)² = 4
- (2 – 7)² = (-5)² = 25
- (5 – 7)² = (-2)² = 4
- (4 – 7)² = (-3)² = 9
- (12 – 7)² = (5)² = 25
- (7 – 7)² = صفر
- (8 – 7)² = (1)² = 1
وهكذا بعد حساب النتائج السابقة نحصل على القيم التالية: 4، 25، 4، 9، 25، 0، 1، 16، 4، 16، 0، 9، 25، 4، 9، 9، 4، 1، 4 ، 9.
الخطوة الثالثة هي إيجاد مجموع القيم المربعة السابقة من خلال هذه المعادلة:
4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9= 178.
ولذلك فإن الخطوة التالية هي قسمة المجموع السابق على سلسلة من القيم باستخدام هذه المعادلة: 178/20 = 8.9.
الخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي لهذه القيمة، وهو 8.9√. كما أنها تساوي 2.983 تقريباً، وبالتالي فإن الانحراف المعياري لهذه القيم هو البعد عن الوسط الحسابي.
أنواع حساب الانحراف المعياري
هناك أنواع عديدة من حسابات الانحراف المعياري:
- الانحراف المعياري للعينة: ويعبر عنه بالرمز S، ويتم استخدام البيانات عن طريق حساب الانحراف المعياري الذي لا يمثل كامل البيانات في المجتمع والدراسة بسبب كثرة المجموعة في العينة مثل الأفراد والأعضاء للدراسة والمجتمع.
ويمكن حساب حساب الانحراف المعياري في هذه الحالة عن طريق العلاقة الرياضية التالية: نموذج الانحراف المعياري = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√
والرمز n هنا هو عدد القيم – (n-1) ويسمى تصحيح بيسل
كما في S = القيم المتضمنة في الدراسة.
- يتم التعبير عن الانحراف المعياري للسكان بالرمز (σ) ويعرف أيضًا باسم الانحراف المعياري للسكان. ونظرا لأهميته فإنه يستخدم للتعبير عن جميع أفراد المجتمع ودراستهم، على سبيل المثال كبيانات لحساب الانحراف المعياري.
قانون هذا النوع من حساب الانحراف المعياري هو: الانحراف المعياري للسكان = [مجموع (س-μ)²/ن]√.
- حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية: هذه طريقة مهمة جدًا لحساب الانحراف المعياري لحساب الفئات المختلفة عن طريق حساب التكرار باستخدام العلاقة الرياضية التالية: مركز الفئة (حد الفئة العلوي + حد الفئة الأدنى)/2
ويتم التعبير عن ذلك أيضًا بحساب الوسط الحسابي للمشكلة في البداية بالعلاقة التالية: (مركز الفئة × التردد) / مجموع التكرارات
ومن ثم يتم حساب الانحراف المعياري التكراري لهذا النوع باستخدام هذا القانون:
احسب الانحراف المعياري = [مجموع (التكرار×(مركز الفئة – المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√
أمثلة على حساب الانحراف المعياري
لفهم معنى الحساب المعياري، لا بد من عرض العديد من الأمثلة الهامة على الانحرافات المعيارية. ونتعرف على ذلك في النقاط التالية، حيث يتم عرض العديد من الأمثلة الرياضية ذات العلاقات والقوانين الحسابية المختلفة:
مثال 1: ما هو الانحراف المعياري للقيم التالية:
6، 2، 3، 1؟
إذن ما هو الحل؟
يتم التعبير عن حساب الانحراف المعياري في البداية بالصيغة التالية: الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.
وبالتالي فإن الوسط الحسابي = مجموع القيم/العدد = (6+2+3+1)/4= 12/4 = 3.
يمكن التعبير عن الانحراف المعياري عن طريق إنشاء جدول ندرج فيه مربعًا لـ:
القيمة – الوسط الحسابي
وبالتالي فإن القيمة هي 6 = 6-3 = 3
- القيمة 3=3-3=صفر
- القيمة 2=3-2=1
- القيمة 1=3-1=2
وإذا تم حسابها باستخدام (القيمة – الوسط الحسابي)² فإن القيم تكون 6-3-2-1 بالترتيب: 9-صفر-1-4
المجموع = 14
ولذلك، في النهاية الانحراف المعياري = (14/4)√ = 1.87 يتم حسابه تقريبًا.
مثال 2: ما هو الانحراف المعياري للقيم التالية، التي تمثل عينات من مجتمع بالقيم التالية: 4، 6، 2، 2، 1؟
إذن ما هو الحل؟
يتم تحقيق الحل من خلال هذه العلاقة الرياضية: نموذج الانحراف المعياري = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√.
الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي عن طريق:
الوسط الحسابي = مجموع القيم/عدد القيم = (6+4+2+2+1)/5 = 15/5 = 3.
وبالتالي فإن الانحراف المعياري هو: الانحراف المعياري = [16/(5-1)]√ =2.
مثال 3: ما هو حساب الانحراف المعياري للقيم التالية: 4، 9، 11، 12، 17، 5، 8، 12، 14؟
ما هو الحل لهذه القيم؟
الحل يتم من خلال الخطوات التالية:
يتم إعطاء الحل من خلال العلاقة التالية: الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.
ولذلك فإن الخطوة التالية هي حساب الوسط الحسابي، والذي يتم حسابه على النحو التالي:
المتوسط الحسابي = مجموع القيم/العدد = 4+9+11+12+17+5+8+12+14 = 92/9 = 10.222 تقريبًا.
ولذلك يتم حساب الانحراف المعياري في النهاية بالعلاقة التالية: الانحراف المعياري = [139.55/9]√ = 3.94.
توضح هذه الأمثلة أهمية الانحراف المعياري المستخدم في الجوانب اليومية والحياة العملية. لقد تعلمنا مؤخراً من خلال التنبؤات الجوية أو معرفة التقريبات في التجارب، من خلال الحصول على النتائج العلمية وأهميتها في الأنشطة العملية في المصانع والمعامل وغيرها من الأنشطة.
للانحراف المعياري أهمية كبيرة وقد تعرفنا على هذه الأهمية من خلال هذا العرض السابق. ولذلك علينا أن نتعرف على قوانين حساب الانحراف المعياري لكي نستخدمها في أمثلة عملية، وقد سبق أن عرضنا هذه الأمثلة في هذا المقال.
ولذلك فقد شرحنا موضوع الانحراف المعياري بالتفصيل، ومن الجدير بالذكر أنه لا يستخدم في علم الاجتماع فقط، بل أيضاً في العمليات التجارية والمالية، كما أنه مهم جداً في العمليات الأخرى في ستة سيجما وذلك لضمان جودة الخدمات المقدمة وتحسين المنتجات، كما أنه يستخدم على نطاق واسع في المشاريع والمشاريع واسعة النطاق وسيكون صديقًا جيدًا ودائمًا لأولئك الذين يعملون في مجالات الأعمال والتمويل.
اقتباسات رائعة عن الرياضيات
- علمتني الرياضيات أنه يمكننا الوصول إلى نتيجة صحيحة بأكثر من طريقة. فلا تظن أنك وحدك صاحب الحق وأن كل من يختلف معك على خطأ. وفي درس المصفوفة أيضاً صف رغباتك وحسن الظن بربك، لأن رغباتك اليوم ستكون واقعك غداً بإذن الله تعالى.
- الرياضيات علم صغير جدًا، لا يقل أهمية عن علم النحو بالنسبة للغة.
- الرياضيات هي العلم الذي لم يستطع العالم الاستغناء عنه منذ آلاف السنين، على الرغم من وجود شكاوى متكررة حوله خلال هذا الوقت.
- كلما كانت الحقائق الرياضية مرتبطة بالواقع، كلما كانت غير مؤكدة وأكثر يقينًا أنها غير واقعية.
- يعتمد عالمنا بأكمله على أسس رياضية، وهذه الأسس متشابكة بشكل غير مفهوم في ثقافتنا بالمعنى العميق للكلمة. إذا لم نكن ندرك دائمًا مدى تأثير الرياضيات على حياتنا، فذلك لأننا نتجنبها قدر الإمكان.