المصفوفة عبارة عن مصفوفة مستطيلة تتضمن متغيرات أو أرقام أو رموز أو تعبيرات مرتبة في صفوف أفقية وأعمدة رأسية محاطة بأقواس. تتكون المصفوفة من صفوف m وأعمدة n، ويقال في هذه الحالة إنها مصفوفة من الرتبة mxn أو من النوع mx n.

تُستخدم المصفوفات لتنظيم البيانات وتحليلها، وكذلك عند الكتابة والعمل باستخدام معادلات خطية متعددة. يعبر ضرب المصفوفات وضربها عن العديد من الميزات الأساسية عندما ترتبط بالتحويلات الخطية، والتي تُعرف بالخرائط الخطية. بعض المصفوفات لها أسماء خاصة وهي:

  • مصفوفة الصف: تحتوي على صف واحد.
  • مصفوفة الأعمدة: تحتوي على عمود.
  • المصفوفة المربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.
  • المصفوفة الصفرية: جميع العناصر أصفار.

أنظر أيضا:

تعريف المصفوفة في الرياضيات

المصفوفة (جمع المصفوفات) هي ترتيب مستطيل للأرقام. تسمى هذه الأرقام إدخالات المصفوفة. يُشار إلى المصفوفات عادةً بأحرف كبيرة: , , .

ومن الجدير بالذكر أن المصفوفات تأتي بأشكال مختلفة حسب عدد الصفوف والأعمدة. يتم تحديد كل إدخال في المصفوفة من خلال الصف والعمود الذي يقع فيه. يتم ترقيم الصفوف من الأعلى إلى الأسفل، ويتم ترقيم الأعمدة من اليسار إلى اليمين

ما هي أنواع المصفوفات؟

إنها ببساطة مجموعة مستطيلة أو مجموعة من العناصر. يمكن تعريف المصفوفة على أنها عناصر m*n على شكل n خطوط أفقية (صفوف)، n خطوط عمودية (أعمدة) وتعرف هذه المصفوفة بمصفوفة الترتيب m*n. يمكن أن تكون العناصر أرقامًا حقيقية أو معقدة أو غير معروفة، وهناك عدة أنواع من المصفوفات:

  • مصفوفة الصف: المصفوفة التي تحتوي على صف واحد فقط تسمى مصفوفة الصف. مثال: [2451].
  • مصفوفة العمود: تُعرف المصفوفة التي تحتوي على عمود واحد فقط بمصفوفة العمود.
  • المصفوفة الصفرية أو الفارغة: تُعرف المصفوفة التي تحتوي على كافة العناصر بالمصفوفة الصفرية أو الفارغة.
  • المصفوفة المربعة أيضًا: المصفوفة التي تحتوي على نفس عدد الأعمدة والصفوف تُعرف بالمصفوفة المربعة.
  • المصفوفة القطرية: المصفوفة التي تكون جميع عناصرها صفراً باستثناء العناصر القطرية تُعرف بالمصفوفة القطرية.
  • وأيضاً المصفوفة العددية: نوع خاص من المصفوفة القطرية معروف حيث تكون جميع العناصر القطرية متماثلة في المصفوفة العددية.
  • مصفوفة الهوية: مصفوفة الهوية هي مصفوفة عددية تكون فيها جميع العناصر القطرية 1.

أنظر أيضا:

العمليات الحسابية على المصفوفات

هناك ثلاث عمليات أساسية على المصفوفات: الجمع والطرح والضرب. لكي نفهم المصفوفات بشكل صحيح، يجب أن نفهم هذه العمليات. ومن الجدير بالذكر أن اختبارات الرياضيات لا تخلو من أسئلة حول العمليات على المصفوفات، وهي كالتالي:

عملية جمع المصفوفة

إذا أ [a ij ] ماكسن و ب [b ij ] mxn مصفوفتان من نفس الترتيب، مجموعهما A+B هو مصفوفة، وكل عنصر في تلك المصفوفة هو مجموع العناصر المقابلة. أي أ+ب= [a ij + b ij ] mxn، هناك أيضًا خصائص لإضافة المصفوفة وهي كما يلي:

  • القانون التبادلي: أ + ب = ب + أ
  • القانون النقابي: (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
  • هوية المصفوفة: A + O = O + A = A، حيث الرمز O عبارة عن مصفوفة مجموعها صفر، وهي تعبر عن الهوية الجمعية للمصفوفة.
  • المعكوس الجمعي: A + (-A) = 0 = (-A) + A، حيث يتم الحصول على (-A) عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر A وهو معكوس جمعي للمصفوفة.

عملية الطرح المصفوفة

إذا كانت A وB مصفوفتان بنفس الترتيب، فإننا نحدد A B = A + (- B)، ويمكننا طرح المصفوفات عن طريق طرح كل عنصر في مصفوفة واحدة من العنصر المقابل في المصفوفة الثانية، أي A – ب = [أ ij   ب ij ].

البحث عن الضرب العددي للمصفوفات

يتضمن الضرب العددي إيجاد منتج ثابت من خلال كل إدخال في المصفوفة، مع الأخذ في الاعتبار k كرقم أو ثابت، ثم تسمى المصفوفة التي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب عناصر A في k المنتج العددي لـ A على k ويشار إليها بـ k أ، وفيما يلي نعرض خصائص مصفوفة الضرب:

  • ضرب المصفوفة ليس تبادليًا بشكل عام.
  • ضرب المصفوفة هو أمر ترابطي، أي (AB) C = A (BC).
  • يتم توزيع المصفوفة على جمع المصفوفات، أي A (B + C) = AB + AC و (A + B) C = AC + BC.
  • يمكن أن يكون منتج مصفوفتين مصفوفة فارغة بينما لا تكون أي منهما فارغة. أي أنه إذا كانت AB = 0، فليس من الضروري أن تكون A = 0 أو B = 0.
  • إن منتج المصفوفة ذات المصفوفة الصفرية هو دائمًا مصفوفة صفرية.
  • إذا كانت AB = 0 (فهذا لا يعني أن A = 0 أو B = 0، مرة أخرى قد يكون منتج مصفوفتين غير الصفر مصفوفة صفرية).

أهمية البحث في المصفوفات

تعد المصفوفات طريقة مفيدة لتمثيل الخرائط الخطية ومعالجتها ودراستها بين الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. يمكن للمصفوفات أيضًا تمثيل الأشكال التربيعية. وفيما يلي نقدم لك أهمية المصفوفات:

  • إنها أيضًا أداة مفيدة في الجبر الخطي. علاوة على ذلك، يعد الجبر الخطي أداة مهمة في الرياضيات.
  • إنه مفيد في دراسة اتجاهات الأعمال والأسهم وإنشاء نماذج الأعمال وما إلى ذلك.
  • المصفوفات هي أيضًا أداة مفيدة لدراسة المجموعات المحدودة. يتم تمثيل كل مجموعة محدودة كمجموعة من المصفوفات القابلة للعكس.
  • ولا تقتصر أهمية المصفوفات على الرياضيات فقط، فهي مهمة في الفيزياء والاقتصاد وكذلك الهندسة وتشفير المعلومات وغيرها من المجالات.

خاتمة البحث عن المصفوفات

وإلى هنا وصلنا إلى خاتمة بحثنا الذي قدمنا ​​لكم فيه معلومات عن المصفوفات، وتعتبر المصفوفات من المواضيع المهمة في الرياضيات. وتعلمها مفيد في العديد من المجالات، وتعرف بأنها مجموعة مستطيلة من الأرقام أو التعبيرات مرتبة في صفوف وأعمدة.

تتضمن المصفوفات ثلاث عمليات جبرية أساسية: جمع المصفوفات وطرحها وضربها. يمكن العثور على العديد من التطبيقات المهمة في الرياضيات للمصفوفات.

أنظر أيضا:

قدمنا ​​لكم بحثا عن المصفوفات . وتضمن البحث تعريف المصفوفة والعمليات الأساسية عليها. إلى جانب أنواعها وأهميتها، تعد المصفوفات من المواضيع المهمة في الرياضيات، كما أنها مفيدة في فهم المعادلات الخطية المتعددة.