البحث في الهويات المثلثية. ودراستهم هي جزء من دراسة الهندسة التي تعتبر أحد فروع الرياضيات. تختص الهندسة بدراسة الأشكال الهندسية المختلفة، سواء كانت ذات بعدين مثل الأشكال المسطحة، أو ثلاثية الأبعاد مثل الأشكال ثلاثية الأبعاد التي تسمى بالمجسمات، ومن الممكن إيجاد مساحة كل شكل حسب دقة القوانين الرياضية الخاصة بكل شكل. بالإضافة إلى ذلك، يجب ملاحظة أن المتطابقات المثلثية خاصة بالمثلثات بجميع أشكالها. وفي هذا السياق نقدم لكم دراسة حول الهويات. علم المثلثات.
تعريف المثلث في الهندسة
الأشكال الهندسية عديدة وتختلف من حيث عدد أضلاعها وزواياها، وحتى من حيث نوع الزوايا الموجودة فيها، وغيرها من الخصائص الهندسية مثل الوتر، تساوي الأضلاع، تساوي الزوايا ، وما إلى ذلك. وهنا نوضح لكم تعريف المثلث في الهندسة:
- يعتبر المثلث من الأشكال الهندسية الأساسية، كما يعتبر شكلاً ثنائي الأبعاد.
- يتكون المثلث من ثلاثة أضلاع بينها ثلاث زوايا، وتلتقي الأضلاع عند ثلاث رؤوس.
- من المسلم به في الهندسة أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يكون دائمًا أكبر من طول الضلع الثالث.
- كما أن مجموع زوايا المثلث يساوي مائة وثمانين درجة.
أنظر أيضا:
ما هي أنواع المثلث؟
البحث في الهويات المثلثية. وكان التفاوت والاختلاف في أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه عاملاً في تعدد أنواع المثلث. ولذلك تنقسم المثلثات من حيث أطوال أضلاعها إلى ثلاثة أنواع. وكذلك الأمر بالنسبة للتفاوت في قياسات الزوايا، فهي ثلاثة أنواع. وهنا نقدم لك ما هي. أنواع المثلثات من حيث أطوال أضلاعها وقياسات زواياها:
أنواع المثلثات من حيث أطوال أضلاعها | أنواع المثلثات من حيث قياس الزوايا |
مثلث متساوي الساقين: ضلعان لهما طولان متساويان. | المثلث الحاد: قياس كل زاوية منه أقل من 90 درجة. |
وبالمثل، المثلث متساوي الأضلاع: أطوال أضلاعه الثلاثة متساوية. | وكذلك المثلث القائم الزاوية: قياس إحدى زواياه 90 درجة. |
مثلث متساوي الساقين: تختلف أطوال أضلاعه. | المثلث المنفرج: زاوية واحدة قياسها أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة. |
أنظر أيضا:
تعريف علم المثلثات
يعتبر علم المثلثات أحد فروع الرياضيات، فهو يهتم بالتعامل مع كافة المعارف والمعلومات المتعلقة بالمثلثات. ومن أمثلة ذلك: إيجاد قياس الزوايا، وكذلك حساب المسافات بين الأضلاع. وهنا نشرح لكم تعريف علم المثلثات بشكل أكثر شمولا:
- لعلم المثلثات أهمية كبيرة، وذلك بسبب اعتماد العديد من فروع العلوم عليه، منها الألعاب الإلكترونية، والهندسة، وغيرها من العلوم.
- يتعلق علم المثلثات بوظائف الزاوية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل.
- علاوة على ذلك، فقد ظهر هذا العلم واهتمت به العديد من الحضارات، منها: الحضارة البابلية، والحضارة الصينية، والحضارة المصرية القديمة.
- أما علم المثلثات بشكله الحديث، فقد ظهر في القرن الثاني قبل الميلاد، على يد عالم يوناني، قام بتنسيق جدول القيم المثلثية، بينما وضع بعض علماء الهند قوانين رئيسية فيه.
- واستمرت الأبحاث والدراسات في هذا العلم، حيث وضع بعض العلماء العرب العديد من النظريات والقوانين ذات الصلة خلال العصور الوسطى.
- خلال القرن السادس عشر، تمكن العلماء الأوروبيون من صياغة مجموعة من القوانين والنظريات في علم المثلثات.
- وهذا بدوره أدى إلى ظهور نظريات جديدة أبرزها: اللوغاريتمات، والتي يعود الفضل في اختراعها إلى العالم جون نابير عام 1614.
أنظر أيضا:
حالات تطابق المثلثات
بحث عن الهويات الثلاثية. يحدث تطابق المثلثات عندما تكون أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين متساوية، وقياسات الزوايا المتناظرة في المثلثين متساوية. ومن ثم يمكن القول أن المثلثين متطابقان، وحالات تطابق المثلث هي كما يلي:
- حالة (ض، ض، ض) التي تكون فيها الأضلاع الثلاثة المتناظرة متساوية في الطول، للمثلث الأول والمثلث الثاني.
- وكذلك الحال في حالة (ض، ض، ض)، حيث يكون طول الضلعين والزاوية بينهما مساوية للنظير المقابل لها في المثلث الآخر.
- وفي حالة (g,z,g) يكون قياس الزاويتين والضلع بينهما متساويين في كل من المثلثين.
- الحالة الرابعة هي: الضلع والوتر والزاوية القائمة، حيث يكون المثلثان القائمان متساويين في أضلاعهما، وزاوية قائمة، والوتر المقابل للزاوية القائمة.
أنظر أيضا:
ما هي الهويات المثلثية؟
المتطابقات المثلثية خاصة بالمثلثات في الهندسة، وتلعب دورًا مهمًا في إيجاد حلول للعديد من المعادلات الرياضية، وخاصة معكوس الدالة. وفي هذا السياق سنشرح لك ما هي المتطابقات المثلثية:
- الهويات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي هويات تتكون من دوال مثلثية.
- وتكمن أهمية هذه المتطابقات في أنها تلعب دورا هاما في حل المعادلات الرياضية وخاصة معكوس الدالة.
- تدرس المتطابقات المثلثية أيضًا مثلثًا يتكون من 3 أضلاع و3 زوايا، ومجموع قياسات زواياه 180 درجة.
- يمكن استخدام الهويات المثلثية في حساب التفاضل والتكامل، والمتسلسلات النهائية، واللوغاريتمات أيضًا.
- بالإضافة إلى إدخاله في جميع فروع الرياضيات.
أنظر أيضا:
الهويات المثلثية الأساسية
هناك العديد من المتطابقات الأساسية التي يعتمد عليها علم المثلثات، وتستخدم لإيجاد حل للمعادلات المثلثية أو إثبات صحة المتطابقات المثلثية المختلفة المتعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية. وفي هذا السياق نقدم لكم الهويات المثلثية الأساسية:
- جيب الزاوية: ويرمز له بالرمز (sin). أما قانون جيب الزاوية في المثلث القائم فهو كما يلي: الجيب = الضلع المقابل للزاوية × ÷ وتر المثلث.
- وكذلك جيب تمام الزاوية: ويرمز له بالرمز (cos)، وقانون جيب التمام في المثلث القائم الزاوية يكون وفقاً لما يلي: cos x = الضلع المجاور للزاوية x ÷ وتر الضلع. مثلث.
- وأيضاً ظل الزاوية: رمزها هو (tan)، بينما قانون ظل الزاوية في المثلث القائم الزاوية هو: tan x = الضلع المقابل للزاوية x ÷ الضلع المجاور للزاوية x = الخطيئة (س) / كوس (س).
- قاطع التمام: رمزه في علم المثلثات هو (المعطف)، ويعتبر مقلوب جيب الزاوية. أما قانونها في المثلث القائم الزاوية فهو: كوتان x = وتر المثلث ÷ الضلع المقابل للزاوية x = 1 ÷ sin x.
- وكذلك الزاوية القاطعة: رمزها (Q)، وتعتبر مقلوب جيب تمام الزاوية. أما قانونها في المثلث القائم الزاوية فهو: Q x = وتر المثلث ÷ الضلع المجاور للزاوية x = 1 ÷ cos x.
- وأيضاً ظل تمام الزاوية: رمزه (cot)، ويمثل مقلوب ظل الزاوية، أما قانونها في المثلث القائم الزاوية فهو كما يلي: cot x = الضلع المجاور للزاوية x ÷ الضلع المقابل للزاوية x = 1÷ tan x = cos (x)/ JA(S).
أنظر أيضا:
أنواع الهويات المثلثية
هناك أنواع عديدة من المتطابقات المثلثية الأساسية، حيث من الأمثلة عليها متطابقات القسمة، وكذلك متطابقات الجمع والطرح، ومتطابقات فيثاغورس، بالإضافة إلى متطابقات الزوايا المتتامة والمتكاملة. وفيما يلي نوضح أنواع المتطابقات المثلثية مع أمثلة رياضية لها، كما يلي:
- هويات حاصل القسمة هي: tan x = sin x ÷ cos x.cos x = cos x ÷ sin x.
- أيضا هويات الجمع والطرح cos(x±y) = cos(x) cos(y) ± cos(x) sin(y).cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) الخطيئة (ص).cos(xy) = cos(x)cos(y) + الخطيئة(x)الخطيئة(y).tan(x+y) = tan(x) + tan(x)/(1-(tan ) S تان (xy) = تان (x) تان (س)/(1+(أسمر × تان).
- أيضًا، تتضمن الهويات الفيثاغورسية: cos 2 x + sin 2 x = 1. cos 2 x – tan 2 x = 1. cos 2 x – tan 2 x = 1.
- كما أن متطابقتي الضرب والجمع هي sin y = ½ [جتا(س-ص)- جتا (س+ص)].كوس كوس ص=½ [جتا(س-ص)+ جتا (س+ص)].الغاز كوس ع = ½ [جا(س+ص)+ جا (س-ص)].jtas الخطيئة r= ½ [جا(س+ص)- جا (س-ص)].
ما هي أنواع الهويات المثلثية؟
هناك العديد من أنواع المتطابقات المثلثية الأساسية التي تعبر عن المعادلات الرياضية التي تكون صحيحة لجميع القيم. ومن أبرز أنواع هذه المتطابقات في علم المثلثات: المتطابقات العددية المتبادلة، وكذلك متطابقات الزاوية العكسية، وأيضًا متطابقات الزوايا التكميلية، وغيرها. وفي هذا السياق سنوضح لك ما هي أنواع المتطابقات المثلثية:
- الهويات المتبادلة تشمل: الوقت x = 1÷ الخطيئة x. كوس س = 1÷ كوس س. المهد x = 1÷ tan x.
- وبالمثل، فإن هويات الزوايا التكميلية sin(90-x)=cos x cos(90-x)=sin x tan(90-x)=cot x cot(90-x)=tan x cos(90-x)= qta s.qta (90-s) = qa s.
- أيضا الهويات العكسية sin (-x)= sin x cos (-x)= cos x tan (-x)= tan (x).
- وبالمثل، فإن هويات الزوايا التكميلية هي sin x = sin (180-x).cos x = – cos (180 – x).tan x = – tan (180 – x).
- بالإضافة إلى ذلك، تتضمن هويات الزاوية المزدوجة sin2x=2 costanscos2x=cos2x-sin2xtan2x=2tan/(1-tan2x)cotan2x=(cotan2x-1)/2tan .
- تتضمن الهويات نصف الزاوية أيضًا cos (x/2)=± ((1-cos x)/2)√cos (x/2)=± ((1+cos x)/2)√tan (x/2) =± ((1-cos x)/(1+cos x))√= sin x/(1+cos x)= 1-cos x/sin x = cot x cot x. (x/2)=± ((1+cos x)/(1-cos x))√= sin x/(1-cos x)= 1+cos x/sin x=مهد x+مهد x.
نص نظرية فيثاغورس
تعتبر نظرية فيثاغورس من النظريات الشهيرة في الهندسة وعلم المثلثات، والتي من خلالها يمكن إيجاد قياس أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية بمعلومية الضلعين الآخرين. ونص نظرية فيثاغورس هو كما يلي:
- مربع الوتر يساوي مربع طول الضلع الأول زائد مربع طول الضلع الثاني.
- ويمكن التعبير عنها رياضيا على النحو التالي:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول للمثلث + مربع طول الضلع الثاني للمثلث.
- وعكس نظرية فيثاغورس هو: عندما يكون مجموع مربعي الضلعين يساوي مربع الضلع الثالث، فإن المثلث قائم الزاوية.
البحث في الهويات المثلثية. وقد تضمن هذا البحث تعريفاً لكل من المثلثات والمتطابقات المثلثية، مع بيان أنواع كل منهما وفق أسس معينة.